Java 알고리즘 :: 구간 합 구하기 (핵심 이론)

본 글은 Do IT 알고리즘 코딩 테스트 자바 편을 정리한 글입니다! 

 

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구간 합은 합 배열을 이용하여 시간 복잡도를 더 줄이기 위해 사용하는 특수한 목적의 알고리즘입니다. 코딩 테스트에서 사용 빈도가 높으니 꼭 알아두시기 바랍니다.

구간 합의 핵심 이론

구간 합 알고리즘을 활용하려면 먼저 합 배열을 구해야 합니다. 배열 A가 있을 때 합 배열 S는 다음과 같이 정의합니다.

합 배열 S 정의

S[i] = A[0] + A[1] + A[2] + ... + A[i-1] + A[i] // A[0]부터 A[i]까지의 합

합 배열은 기존의 배열을 전처리한 배열이라 생각하면 됩니다. 이렇게 합 배열을 미리 구해놓으면 기존 배열의 일정 범위의 합을 구하는 시간 복잡도가 O(N)에서 O(1)로 감소합니다.

A[i]부터 A[j]까지 배열 합을 합 배열 없이 구하는 경우, 최악의 경우는 i가 0이고 j가 N인 경우로 시간 복잡도는 O(N)입니다. 이런 경우 앞에서 알아본 합 배열을 사용하면 O(1) 안에 답을 구할 수 있습니다. 합 배열은 다음과 같은 간단한 공식으로 만들 수 있습니다.

합 배열 S를 만드는 공식

S[i] = S[i-1] + A[i]

당연한 이야기겠죠? S[i]는 S[i-1] 까지의 합에 A[i]을 더한 것이니까요. 이렇게 구현된 합 배열을 이용하여 구간 합 역시 쉽게 구할 수 있습니다. i에서 j까지 구간 합을 구하는 공식은 다음과 같습니다.

구간 합을 구하는 공식

S[j] - S[i-1] // i에서 j까지 구간 합

구간 합은 합 배열과 연관되어 있습니다. A[0] + … + A[5] 에서 A[0] + A[1]을 빼면 구간 합 A[2] + … + A[5]가 나오므로 S[5] 에서 S[1]을 빼면 구간 합을 쉽게 구할 수 있습니다. 합 배열만 미리 구해 두면 구간 합은 한 번의 계산으로 구할 수 있는 것입니다.

A[2] ~ A[5] 구간 합을 합 배열로 구하는 과정

S[5] = A[0] + A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5]
S[1] = A[0] + A[1]
S[5] - S[1] = A[2] + A[3] + A[4] + A[5]

합 배열과 구간 합 공식을 적재 적소에 활용하면 코딩 테스트에서 시간 복잡도를 줄이는 데 많은 도움이 될 것입니다.